困扰数学家近60年的搬沙发难题疑似被解决！11
作者：[db:作者]日期：2024/12/16 浏览：
《老友记》中的罗斯终于能把沙发搬进屋了。生涯中到处充斥数学，比方在经典美剧《老友记》中，罗斯要搬迁，却在跟瑞秋抬沙发上楼梯扶手时翻了车。这波及了数学范畴一个有名的未处理困难 —— 挪动沙提问题（the moving sofa problem）。起源：《老友记 S05E16》该成绩是由加拿年夜数学家 Leo Moser 于 1966 年正式提出：在宽度为 1 的 L 形立体走廊中，可能经由过程一个直角转弯的「沙发」的最年夜面积是几多？1968 年，数学家 John Michael Hammersley 提出了一种简略的解法。他将沙发计划成相似于一个德律风听筒的外形，由两个四分之一圆跟一其中间的矩形块构成，旁边的矩形块中挖去了一个半圆形，从而得出的沙发最年夜面积为 2.2074。但遗憾的是，这并不是最优解。1992 年，美国数学家 Gerver 在 Hammersley 沙发的基本长进行了改良，算出的最年夜沙发面积为 2.2195，固然比 Hammersley 沙发面积略年夜一些，但在方式上却聪慧得多。Gerver 沙发由 18 条差别的曲线段构成，此中包含圆弧、圆的渐开线以及圆的渐开线的渐开线等多种曲线。每条曲线段都由一个独自的剖析表白式描写，这使得 Gerver 沙发在数学上十分庞杂。Gerver 揣测他的处理计划是最优的，但他无奈证实他的沙发是独一一个（而且是最年夜面积的）满意这个强前提的沙发。2024 年 12 月 2 日，韩国粹者 Jineon Baek 宣布了一篇新论文，宣称证实了 Gerver 确切是准确的 —— 他的沙发是最优的。这项研讨在交际媒体（如 x）上的热度十分高，惹起了良多人的存眷。不外，Jineon Baek 的证实论文足足有 119 页，标题为《Optimality of Gerver’s Sofa》。相干专家验证证实的准确性还须要一些时光。论文地点：https://arxiv.org/pdf/2411.19826这道困扰人类 58 年的数学困难终于有了谜底，不少网友也宣布了本人的见解。「我乃至不是数学家，自从 20 年前据说这个成绩后，我就始终在思考它。每次我须要把货色经由过程门时，我都市想到这个成绩。」「我没想到这个外形会是最优的，这 18 个局部看起来不敷优雅。」证实进程简述论文共分 8 章，目次如下：择要只有一句话，「经由过程证实存在 18 个曲线段的 Gerver 沙发确实到达了最年夜面积 2.2195，进而处理了挪动沙提问题」。下图为 Gerver 的沙发 G。刻度表现形成 G 界限的 18 条剖析曲线跟线段的端点，包括 G 的支持走廊 L_t 在右侧以灰色表现。在证实 Gerver 的沙发 G 到达最年夜面积的进程中，作者除了在迷信盘算器长进行数值盘算之外，不应用任何的盘算机帮助。下图 1.3 为从走廊（顶部）跟沙发（底部）视角来看挪动沙发的挪动。上面为作者要证实的定理 1.1.1。这个成绩之以是很难，是由于不一个通用的公式能够盘算全部可能的挪动沙发面积。因而，为懂得决这个成绩，作者证实了最年夜面积的挪动沙发 S_max 的一个属性，被称为可注入性前提（injectivity condition）。对每个满意前提的挪动沙发 S，作者将界说一个更年夜的外形 R，它相似于 Gerver 沙发的外形（下图 1.2）。那么 R 的面积 Q (S) 就是 S 面积的下限，假如是 Gerver 沙发 G，则 Q (S) 与 S 的准确面积相婚配。S 的可注入性前提确保地区 R 的界限构成 Jordan 曲线，从而可能应用格林定理盘算 Q (S)。而后，挪动沙发 S 面积的上界 Q (S) 绝对于 S 的最年夜值如下所示：作者应用 Brunn-Minkowski 实践将 Q 表现为凸体元组 (K,B,D) 空间 L 上的二次函数（上图 1.2），并应用 Mamikon 定理树立 Q 在 L 上的全局凹性（下图 1.13）。作者应用加州年夜学戴维斯分校数学系教学 Dan Romik [Rom18] 对于 Gerver 沙发 G 的部分最优方程，来证实 S = G 部分最年夜化 Q (S)。因为 Q 是凹的，因而 G 也全局最年夜化 Q。而且，因为上界 Q 与 G 处的面积相婚配，因而沙发 G 也全局最年夜化了面积，从而证实定理 1.1.1。详细来讲，定理 1.1.1 的完全证实分为以下三个重要步调：步调 1 ：限度最年夜面积挪动沙发 S_max 的可能外形；步调 2 ：树立 S_max 的可注入性前提；步调 3 ：构建满意可注入性前提的挪动沙发 S 面积的上界 Q (S)，并最年夜化对于 S 的 Q (S)。作者供给了步调 1、2、3 的更细分步调。此中步调 1-(a) 将 S_max 的可能外形缩小为枯燥沙发（monotone sofa），即由支持走廊内角雕琢出的凹痕的凸体（下图 1.4）。步调 1-(b) 从新证实了 Gerver 的一个主要部分最优前提，即 S_max 的边长应当彼此均衡（定理 1.3.1）。因为 Gerver 的原始证实存在逻辑破绽，不处理挪动沙发的连通性成绩，因而作者引入了新的主意偏重新停止了证实。步调 1-(c) 应用后面的步调跟基础多少何来标明 S_max 在挪动进程中扭转了整整一个直角。步调 2 证实了 S_max 上的可注入性前提，这是之后树立下限 Q 的要害。它标明 L 内角 (0,0) 的轨迹在挪动沙发的视角（参考系）中不会构成自环（下图 1.9）。为了证实 S_max 的这一前提，作者在 S_max 上树立了一个新的微分不等式（等式 (1.9)。该不等式遭到了 Romik 的一个 ODE 的启示，该 ODE 均衡了 Gerver 沙发的微分边（等式 (1.8)）。步调 3-(a) 将全部挪动沙发的空间 S 扩大为存在单射前提的凸体元组 (K,B,D) 的聚集 L，使得每个 S 逐一映射到 (K,B,D) ∈ L（但纷歧定到 L）。该凸体描写了包抄 S 的地区 R 的差别局部（上图 1.2）。步调 3-(b) 界说了扩大域 L 上的上界 Q。作者遵守 R 的界限，并应用格林定理跟 Brunn-Minkowski 实践中对于 K、B 跟 D 的二次面积表白式来表现其面积 Q。同时应用单射前提跟 Jordan 曲线定理严厉证实 Q (K,B,D) 是 S 面积的上界。步调 3-(c) 应用 Mamikon 定理断定 Q 在 L 上的凹度（上图 1.13）。步调 3-(d) 盘算由 Gerver 沙发 G 发生的凸体 (K,B,D) ∈ L 处 Q 的偏向导数。Romik [Rom18] 在 G 上的部分最优 ODE 用于标明偏向导数一直为非正值。这象征着 G 是 Q 在 L 中的部分最优值。Q 在 L 上的凹度象征着 G 也是 Q 在 L 中的全局最优值。因为 G 处 Q 的值与面积婚配，沙发 G 也全局最年夜化了面积，终极实现定理 1.1.1 的证实。更详细的证实细节请参考原论文。作者先容这篇论文的作者 Jineon Baek，本科结业于韩国浦项科技年夜学，博士时期就读于美国密歇根年夜学安娜堡分校。现为韩国首尔延世年夜学的博士后研讨员，导师是 Joonkyung Lee。他重要研讨兴致是组合数学跟多少何学中的优化成绩，这类成绩每每经由过程简略却风趣的表述，可能吸引更普遍的受众。他在人工智能范畴也宣布过一些相干文章。他在医学图像处置、教导数据发掘等范畴宣布了多篇集会跟期刊论文，特殊是在 X 射线 CT 图像去噪、测验分数猜测、尺度化测验筹备推举体系等方面有所奉献。查阅 Jineon Baek 宣布过的文章，就会发明这曾经不是他第一次研讨挪动沙提问题了。在往年 6 月他就挪动沙发的下限成绩停止了研讨。在新文章宣布的 12 月 2 日当天，arxiv 上表现，这篇论文提交了一个更新版本（v2），之后撤回了该版本。当初，不少网友在网上探讨《Optimality of Gerver's Sofa》。「十分直不雅，恰是年夜少数人会猜想的那样。不外，我猜证实这一点要艰苦得多吧？」「在事实生涯中，谜底取决于天花板的高度以及沙发能否带有可倾斜的靠背。」「对沙发来说，这真的是一个蹩脚的计划。」你怎样看这个挪动沙发的最优解呢？参考链接：https://x.com/deedydas/status/1865060166322032764https://x.com/Scientific_Bird/status/1865116279574528088https://jcpaik.github.io/CV.pdf© THE END 转载请接洽本大众号取得受权投稿或追求报道：[email protected]]article_adlist-->
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